Να συμπληρώσω σε αυτά που είπε ο @caeser πρ'επει να πας Ρυθμίσεις ->Περισσότερες Ρυθμίσεις->Μπαταρία ->Διαχ. χρήσης μπαταρίας εφαρμογών και να επιλέξεις σε κάθε εφαρμογή να παραμένει σε σύνδεση στο παρασήνιο. Αυτό προσωπικά μου έλυσε το πρόβλημα με τα push notifications.
Το άλλο που μπορείς να κάνεις εκτός από αυτό που σου είπε ο @caeser είναι να "κλειδώσεις" μία εφαρμογή να τρέχει συνέχεια στο background. Έτσι θα σου έρχονται ειδοποιήσεις.